12.2 La velocita' e l'accelerazione come vettori.

   Iniziamo col definire la velocita' vettoriale. Per fare questo, consideriamo una particella che si stia muovendo nello spazio su una traiettoria arbitraria.

Figura 1.12.2.  La definizione di velocita' vettoriale. I pulsanti r1 ed r2 mostrano la posizione vettoriale della particella in due istanti diversi. Il pulsante "dr" mostra il vettore spostamento, il pulsante "velocita'" mostra la velocita' vettoriale.

  mostra una particella che si muove di moto uniforme su una traiettoria rettilinea. Per individuare una particella che si muove nello spazio, faremo uso della notazione vettoriale. Immaginiamo quindi di tracciare un vettore r che congiunge l'origine del sistema di riferimento alla particella in movimento. Il moto della particella viene descritto quindi dall'equazione:

$${\bf r}(t) \qquad (1)$$

   La (1) e' in realta' un'equazione vettoriale, in quanto, proiettata sui tre assi cartesiani nello spazio, equivale a tre equazioni:

$$x(t), \qquad y(t), \qquad z(t)$$

   Consideriamo ora due posizioni diverse della particella nel tempo: ${\bf r_1}$ ed ${\bf r_2}$ ai tempi $t_1$ e $t_2$. Definiremo velocita' media vettoriale:

$${\bf v}_m = \frac{{\bf r_2 - r_1}}{{t_2 - t_1}} \qquad (2)$$

   Notiamo che nella (2), la direzione e il verso della velocita' media sono quelle del vettore differenza ${\bf r_2 - r_1}$. Facendo tendere a zero l'intervallo di tempo, otterremo la velocita' vettoriale istantanea:

$${\bf v} = \frac{d {\bf r}}{dt} \qquad (3)$$

che ovviamente equivale a tre equazioni:

$$\frac{d x}{dt}, \qquad \frac{d y}{dt}, \qquad \frac{d z}{dt}$$

Nella simulazione mostrata nella figura 1.12.2, i diversi pulsanti permettono di visualizzare le due posizioni raggiunte dal corpo, il vettore ${\bf r_2 - r_1}$ e la velocita' v.

   Analogamente si definisce l'accelerazione vettoriale:

$${\bf a} = \frac{d {\bf v}}{dt} \qquad (4)$$

   La definizione di accelerazione e' visualizzata in figura 2.12.2.

Figura 2.12.2. La definizione dell'accelerazione vettoriale. I pulsanti v1 ed v2  mostrano la posizione vettoriale e la velocita' della particella in due istanti diversi.  Il pulsante "dv" mostra il vettore variazione di velocita',  il pulsante "accelerazione" mostra  l'accelerazione vettoriale.

  mostra una particella si muove su una circonferenza con velocita' crescente. Notiamo che il vettore velocita' e' sempre tangente alla traiettoria. I pulsanti permettono di visualizzare i vettori velocita' ${\bf v_1}$ e ${\bf v_2}$ in due istanti di tempo successivi. L'accelerazione media nell'intervallo considerato e':

$${\bf a_m} = \frac{{\bf v_2 - v_1}}{t_2 - t_1}$$

Notiamo anche qui che la direzione dell'accelerazione e' quella del vettore ${\bf v_2 - v_1}$. Notiamo anche che la (4) equivale a tre equazioni, quando proiettata sugli assi cartesiani:

$$\frac{d v_x}{dt}, \qquad \frac{d v_y}{dt}, \qquad \frac{d v_z}{dt}$$