14.2 Il moto del proiettile


   Siamo ora in grado di studiare un classico esempio di cinematica: il moto del proiettile. Il problema e' quello di lanciare un corpo sulla superficie della Terra, con una velocita' iniziale ${\bf v_0}$ e determinare il tipo di moto che ne consegue. Notiamo che il simbolo delle velocita' e' scritto in grassetto, quindi e' un vettore. Questo vuol dire che la direzione di lancio formera' un certo angolo con la linea orizzontale della Terra. Scegliamo ora un sistema di riferimento in cui l'asse x sia orientato lungo la superficie della Terra mentre l'asse z sia perpendicolare ad esso e rivolto verso l'alto come mostrato in figura 1.14.2. Supponiamo anche, per semplicita', di lanciare il corpo dall'origine del sistema di riferimento.

Figura 1.14.2:    La velocita' iniziale del moto del proiettile.

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\epsfig{file=fig_pro.e...
...ght=12cm,width=12cm}
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   Come si risolve questo tipo di problemi in cui il moto non si svolge piu' su una retta? Il metodo e' molto semplice: proiettare il moto lungo i due assi e studiarli indipendentemente l'uno dall'altro. Se proiettiamo il vettore velocita' lungo i due assi otterremo:

\begin{displaymath}V_{0x} = V_0 cos \alpha \qquad (1)\end{displaymath}

\begin{displaymath}V_{0z} = V_0 sin \alpha \qquad (2)\end{displaymath}

   Quindi dobbiamo immaginare che e' come lanciare due corpi, uno lungo l'asse x, con una velocita' iniziale $V_{0x}$ e l'altro lungo l'asse z con velocita' iniziale $V_{0z}$. Che tipo di moto seguiranno questi corpi? Abbiamo osservato nel capitolo 13 che tutti i corpi lanciati verso l'alto sono sottoposti ad una accelerazione di gravita' rivolta verso il basso. Il moto lungo la verticale sara' quindi un moto uniformemente accelerato. Quindi le equazioni che descrivono il moto lungo z saranno:

\begin{displaymath}V_z = V_{0z} - g t\end{displaymath}

\begin{displaymath}z = V_{0z} t - g \frac{t^2}{2} \qquad (3)\end{displaymath}

   Lungo l'asse x invece non vi e' alcuna accelerazione, poiche' l'accelerazione di gravita' e' perpendicolare alla superficie della Terra. Accelerazione nulla vuol dire velocita' costante per cui il moto lungo l'asse x sara' un moto rettilineo uniforme. Le equazioni che descrivono questo moto lungo l'asse x sono quindi:

\begin{displaymath}Vx = V_{0x}\end{displaymath}

\begin{displaymath}x = V_{0x} t \qquad (4)\end{displaymath}

   Possiamo ora collegare questo insieme di equazioni per calcolare la traiettoria del corpo. Una traiettoria e' l'insieme dei punti occupati dal corpo nel suo moto. Per ottenerla eliminiamo il tempo dalle precedenti equazioni. Dalla (4) otteniamo:

\begin{displaymath}t = \frac{x}{V_{0x}}\end{displaymath}

e, sostituendo nella (3):

\begin{displaymath}z = V_{0z}\frac{x}{V_{0x}} - \frac{g}{2}(\frac{x}{V_{0x}})^2\end{displaymath}

che si puo' anche scrivere:

\begin{displaymath}z = \frac{V_{0z}}{V_{0x}} x - \frac{g}{2 V_{0x}^2} x^2 \qquad(5)\end{displaymath}

che e' l'equazione di una parabola del tipo: $z = ax + b x^2$. Quindi, la traiettoria descritta dal corpo e' una parabola.
   Utilizzando ora le equazioni (1,2) possiamo anche scrivere la (5) come:

\begin{displaymath}z = tg \alpha x - \frac {g}{2 V_0^2 cos^2 \alpha} x^2 \qquad (6)\end{displaymath}
 

dove compaiono esplicitamente la velocita' iniziale e l'angolo formato dalla velocita' iniziale con l'asse x.



Fig. 2.14.2 Il moto del proiettile. I cursori velocita' e angolo permettono di  modificare i parametri di lancio del proiettile. Il cursore "vettori" evidenzia le componenti della velocita' del proiettile.

  mostra una simulazione del moto del proiettile.  L'angolo di lancio e la velocita' iniziale possono essere modificati mediante i due cursori. Il pulsante ``Velocita''' mostra il vettore velocita' insieme alle sue componenti lungo gli assi. Notiamo che la velocita' verticale cambia costantemente come accade nel moto uniformemente accelerato, mentre la velocita' orizzontale rimane costante.

   Le equazioni (5) o (6) possono essere utilizzate per calcolare la gittata, ovvero la distanza fra il punto di lancio e il punto di caduta. Il punto di caduta e' semplicemente il punto in cui z = 0. Imponendo questa condizione nella (5) otteniamo:

\begin{displaymath}0 = \frac{V_{0z}}{V_{0x}} x - \frac{g}{2 V_{0x}^2} x^2\end{displaymath}

oppure, mettendo in evidenza x:

\begin{displaymath}0 = x(\frac{V_{0z}}{V_{0x}} - \frac{g}{2 V_{0x}^2} x)\end{displaymath}

   Questa espressione diventa nulla quando x=0 (questa condizione non ci serve, e' solo il punto di partenza) oppure quando il termine nelle parentesi diventa nullo, ovvero:

\begin{displaymath}\frac{V_{0z}}{V_{0x}} = \frac{g}{2 V_{0x}^2} x\end{displaymath}

Semplificando:

\begin{displaymath}V_{0z} = \frac{g}{2 V_{0x}} x\end{displaymath}

e da questa possiamo ottenere l'espressione della nuova intersezione della parabola con l'asse x che chiameremo gittata:

\begin{displaymath}x_g = \frac{2 V_{0z}V_{0x}}{g} \qquad (7)\end{displaymath}

Tenendo presenti le (1):

\begin{displaymath}x_g = \frac{2 V_0^2 sin \alpha cos \alpha}{g}\end{displaymath}

e che $sin 2 \alpha = 2 sin \alpha cos \alpha$ otteniamo l'espressione finale della gittata:

\begin{displaymath}x_g = \frac{V_0^2 sin 2 \alpha}{g} \qquad(8)\end{displaymath}
 

   Questa equazione si puo' utilizzare per calcolare, dato un certo valore della velocita' iniziale $V_0$, per quale angolo di tiro un corpo raggiunge la distanza massima. Nella (8), basta calcolare il valore massimo di $sin 2 \alpha$ che e' 1. Il seno di un angolo e' 1 a $90^0$, quindi deve essere $2 \alpha = 90^0$ ovvero:

\begin{displaymath}\alpha = 45^0\end{displaymath}

   Possiamo ora calcolare il tempo di volo, ovvero il tempo impiegato dal proiettile a percorrere interamente la sua traiettoria. Un metodo semplice per ottenerlo e' quello di osservare la proiezione del moto lungo l'asse x, che si svolge con moto uniforme. In un tempo di volo $\tau$ la proiezione del corpo sull'asse delle ascisse percorrera' una distanza pari alla gittata con una velocita' $V_{0x}$, quindi:

\begin{displaymath}V_{0x} = \frac{x_g}{\tau}\end{displaymath}

dalla quale si ottiene, tenendo presente la (7):

\begin{displaymath}\tau = \frac{x_g}{ V_{0x}} = \frac{2 V_{0z}}{g}\end{displaymath}