16.2 L'accelerazione centripeta

   Nel capitolo 15 abbiamo visto il caso del moto circolare uniforme. Ne vogliamo ora calcolare l'accelerazione. Non e' questa una contraddizione? Nel caso del moto rettilineo uniforme l'accelerazione era nulla, lo sara' anche in questo caso? La risposta e' negativa: il moto circolare uniforme e' un moto accelerato.

Fig. 1.16.2 La definizione dell'accelerazione centripeta. "Misura1" e "Misura2" fissano due valori della velocita' tangenziale del punto. "Continua" fa muovere il corpo per un tempo arbitrario, "Accelerazione" evidenzia la costruzione grafica per ottenere l'accelerazione media.

mostra un corpo che si muove di moto circolare uniforme. Notiamo che il vettore velocita' ruota nel piano mantenendosi sempre tangente al cerchio. Solo il suo modulo e' costante. Ma un vettore viene identificato non solo dal modulo, ma anche da direzione e verso e queste cambiano nel tempo. Quindi la velocita' vettoriale e' variabile e quindi il moto circolare uniforme e' un moto accelerato. Per poter calcolare l'accelerazione dobbiamo introdurre anch'essa come vettore utilizzando cioe' la definizione:

$${\bf a} = \frac {\Delta {\bf v}}{\Delta t} \qquad (1)$$

dove a e un vettore e v e' anch'esso un vettore. Vediamo ora operativamente come possiamo calcolare questa accelerazione. Azionando il pulsante ``Misura1'' effettuiamo una misura della velocita' ${\bf v_0}$al tempo $t_0$, con ``Continua'' facciamo muovere un po' il corpo, agendo su ``Misura2'' effettuiamo una misura della velocita' ${\bf v_1}$ al tempo $t_1$. Cercheremo di fare le due misure quanto piu' vicine nel tempo e' possibile. Quindi per calcolare la (1) dobbiamo calcolare il vettore:

$$\Delta {\bf v} = {\bf v_1} - {\bf v_0}$$

   Se agiamo sul pulsante ``Accelerazione'' osserveremo comparire (al tempo $t_0$) due nuovi vettori: uno in giallo che non e' altro che ${\bf v_1}$, il vettore velocita' al tempo $t_1$ e un secondo vettore bianco che e' la differenza ${\bf v_1} - {\bf v_0}$. Ricordiamo infatti che la differenza fra due vettori non e' altri che la diagonale minore del parallelogramma costruito partendo dai vettori ${\bf v_1}$ e ${\bf v_0}$. Tale vettore come si puo' osservare punta approssimativamente verso il centro. L'accelerazione non e' altri che il rapporto $\Delta {\bf v}/\Delta t$ ovvero dobbiamo dividere il vettore differenza per uno scalare, quale e' $\Delta t$. Moltiplicare o dividere un vettore per uno scalare non cambia la direzione del vettore, ne puo' cambiare solo il verso o il modulo. Quindi anche il vettore accelerazione punta approssimativamente verso il centro. In realta' se effettuiamo le misure molto distanziate nel tempo tale vettore puo' puntare verso una direzione qualsiasi, e' solo quando $\Delta t$ tende a zero che il vettore punta esattamente verso il centro. Vediamo ora di calcolare il modulo di tale accelerazione. Prima di fare questo notiamo che nella figura 1.30 l'angolo formato fra i raggi del cerchio che identificano la posizione del punto (colorati in rosso) e' uguale all'angolo formato dai due vettori ${\bf v_1}$ e ${\bf v_0}$. Questo perche' ${\bf v_1}$ e ${\bf v_0}$ sono perpendicolari a questi due raggi e l'angolo formato da due rette e' uguala all'angolo formato dalle loro perpendicolari. Chiameremo questo angolo $\Delta \theta$. Osserviamo ora la figura 1.31 dove sono riportati i due vettori velocita' e la loro differenza $\Delta {\bf v}$.

Figura 2.16.2 :  Il calcolo dell'accelerazione centripeta.

   Insieme al triangolo formato da questi tre vettori e' anche riportato un arco di cerchio. Teniamo anche presente che il modulo della velocita' non cambia nel moto circolare, quindi il triangolo e' isoscele. Chiameremo il modulo della velocita' v. Teniamo anche presente che, se facciamo tendere a zero l'intervallo di tempo $\Delta t$, tende a zero anche l'angolo $\Delta \theta$ per cui non riusciremo piu' a distinguere il segmento $\Delta v$ dall'arco di cerchio. Quindi possiamo applicare la relazione sui settori circolari (per $\Delta \theta$ molto piccolo):

$$\Delta v = v \Delta \theta$$

   Dividendo questa equazione per il tempo $\Delta t$ otterremo il modulo dell'accelerazione:

$$a_c = \frac{\Delta v}{\Delta t} = v \frac{\Delta \theta}{\Delta t}= v \omega$$

dove abbiamo indicato con $a_c$ questa accelerazione che viene detta ``centripeta'' in quanto, come osservato in precedenza, punta sempre verso il centro del cerchio. Tenendo presente che $v = \omega r$, possiamo anche scrivere le seguenti espressioni per questa accelerazione:

                       $$a_c = v \omega = \frac {v^2}{r} = \omega^2 r$$