14.3 Gravitazione. Le Leggi di Keplero

   Un grande passo avanti verso la comprensione del fenomeno della Gravitazione venne fatto dal lavoro di Thycho Brahe e Keplero. Thycho Brahe fu un abile sperimentatore e produsse, senza l'uso del cannocchiale, misure estremamente precise sul moto dei pianeti. Il suo lavoro fu di fondamentale importanza per Keplero il quale riusci' a decifrare un enorme elenco di misurazioni semplificandole in una serie di tre leggi di tipo Cinematico dette le Leggi di Keplero. Teniamo presente che qui non siamo ancora alla comprensione dinamica del fenomeno, ma solo alla sua comprensione cinematica. Le leggi di Keplero costituiscono una grande semplificazione del problema, ma producono solo una descrizione cinematica del moto dei pianeti. Le leggi di Keplero si esprimono nel seguente modo.

                                I Legge: I pianeti si muovono seguendo orbite ellittiche attorno al Sole e il Sole occupa uno dei fuochi dell'ellisse.

 

   permette di osservare la simulazione di un pianeta che si muove attorno al sole.

Figura 1.14.3. La prima e seconda legge di Kplero.

                                II Legge: I pianeti si muovono con velocita' areolare costante.            

 
 La velocita' areolare si definisce nel seguente modo. Immaginiamo di tracciare una linea che dal sole vada fino al pianeta. Tale linea si muove nel tempo ``spazzando'' un'area, vedi Fig. 1.14.3 agendo sul pulsante ``II Legge''. Se chiamiamo $\Delta A$ l'area spazzata nel tempo $\Delta t$ allora la velocita' areolare si definisce come:

$$\frac {\Delta A}{\Delta t}$$

Vediamo di calcolare quest'area: Se osserviamo il pianeta quando e' distante dal sole, osserviamo che l'area spazzata puo' essere approssimata ad un settore circolare, come mostrato in figura 2.14.3 (area in giallo).

Figura 2.14.3    Il calcolo della velocita' areolare.

Il pezzo di area escluso e' infatti molto piu' piccolo e lo diventa ancora di piu' se immaginiamo il pianeta molto lontano dal sole e l'angolo $\theta$ molto piu' piccolo. La sua area infatti puo' essere calcolata come quella di un triangolo infinitesimo di base $\Delta r$ e altezza $\Delta \theta r$:

$$\frac{\Delta r \Delta \theta r}{2} \qquad (1)$$

dove $\Delta r$ e' la variazione di distanza fra le due posizioni considerate. Passando agli infinitesimi notiamo che la (1) contiene il prodotto di due infinitesimi. L'are in giallo (il settore circolare) si confonde invece con un triangolo di base $r \Delta \theta$ e altezza r per cui la sua area sara':

$$\Delta A = \frac {r^2 \Delta \theta}{2} \qquad (2)$$

la quale contiene un solo infinitesimo. La (1) quindi va a zero molto piu' rapidamente della (2) essendo un infinitesimo del secondo ordine. Dividendo la (2) per il tempo $\Delta t$ otteniamo la velocita' areolare:

$$\frac {\Delta A}{\Delta t} = \frac {r^2 \omega}{2}$$

dove si e' tenuto presente che la velocita' angolare del pianeta $\omega= \frac {\Delta \theta}{\Delta t}$. Queste espressioni diventano sempre piu' valide come $\Delta t$ tende a zero. La costanza della velocita' areolare produce in importante effetto: il pianeta e' pio' veloce in prossimita' del sole e piu' lento quando e' piu' lontano. Infatti, se immaginiamo una posizione vicina V e una posizione lontana L otterremo:

$$\frac {r_V^2 \omega_V}{2} = \frac {r_L^2 \omega_L}{2}$$

Perche questa eguaglianza sia valida, poiche' $r_L$ e' piu' grande di $r_V$, deve essere $\omega_V$ piu' grande di $\omega_L$.

         III Legge: I quadrati dei periodi di rivoluzione dei pianeti attorno al Sole sono proporzionali al cubo delle distanze medie dal Sole .                                

   (piu' precisamente al cubo dei semiassi maggiori delle ellissi). Questa legge si puo' scrivere come:

$$T^2 = k a^3$$

Figura 3.14.3 Illustrazione della terza legge di Keplero. Il cursore permette di modificare la distanza dal sole di uno dei pianeti.

mostra due pianeti che orbitano attorno al sole a distanze fissate. Un terzo pianeta ha la sua distanza dal Sole variabile. Si puo' verificare come man mano che il pianeta si allontana dal sole il suo periodo di rivoluzione aumenta mantenendosi sulla retta di equazione y = k x dove si e' posto $y=T^2$ e $x = a^3$. Nella simulazione le ellissi sono state approssimate a dei cerchi per cui a e' semplicemente il raggio del cerchio.