11.6  Il pendolo fisico


Nel capitolo della dinamica del punto materiale abbiamo trattato il problema del pendolo semplice ovvero lo studio del moto di un punto materiale vincolato ad un punto fisso mediante un filo di massa trascurabile. Il moto che ne derivava era armonico, con periodo:

\begin{displaymath}T = 2 \pi \sqrt{\frac{l}{g}} \qquad (1)\end{displaymath}

dove l era la lunghezza del filo. Nello studio di questo problema abbiamo anche osservato come si trattasse di una idealizzazione, in quanto non e' sempre esatto che un filo sia di massa nulla. In questo capitolo tratteremo il caso piu' generale, che e' quello di un oggetto di forma qualsiasi vincolato senza attrito per un punto non passante per il suo centro di massa.



Figura 1.11.6 Il Pendolo fisico. Il pulsante "Semplice" visualizza il concetto di lunghezza ridotta.

mostra un esempio di questa possibile situazione che costituisce quello che viene detto ``pendolo fisico'' o ``pendolo composto''. Le leggi della fisica da utilizzare per comprendere il moto di questo oggetto sono quelle della rotazione di un corpo rigido attorno ad un polo fisso che e' il punto di sospensione che chiameremo O. Chiameremo inoltre r la distanza fra il centro di massa e il punto O. Ricordiamo che l'equazione da applicare e:

\begin{displaymath}\tau_z I \alpha \qquad (2) \end{displaymath}

dove $\tau_z$ e' la risultante dei momenti delle forze esterne proiettata lungo l'asse di rotazione z che non e' altri l'asse passante per O e perpendicolare al piano in cui si svolge il moto del corpo. Notiamo che le forze applicate al corpo sono due: la reazione vincolare del perno a cui e' appeso il corpo e la forza peso che e' applicata al centro di massa. Il momento della prima forza e' nullo in quanto la forza e' applicata direttamente al polo e quindi la sua distanza e' nulla. Per quel che riguarda il momento della forza peso, indicando con $\theta$ l'angolo formato dalla congiungente il centro di massa col polo O con la verticale:

\begin{displaymath}\tau_z = - r m g sin \theta\end{displaymath}

dove il segno negativo evidenzia il fatto che questo e' un momento di richiamo, ovvero che tende a far ritornare il corpo nella sua posizione di equilibrio. La (2) si pu' quindi scrivere:

\begin{displaymath}- r m g sin \theta = I \frac{d^2 \theta}{d t^2} \qquad (3)\end{displaymath}

Ponendo ci ora nel regime delle piccole oscillazioni cosicche' $\sin \theta \approx \theta$ la (3) si puo scrivere come:

\begin{displaymath}\frac{d^2 \theta}{d t^2} + \frac{r m g}{I} \theta\end{displaymath}

che non e' altri che l'equazione differenziale del moto armonico, con pulsazione:

\begin{displaymath}\omega^2 = \frac{r m g}{I}\end{displaymath}

e quindi

\begin{displaymath}\omega = \sqrt{\frac{r m g}{I}}\end{displaymath}

Da questa possiamo ricavare il periodo di oscillazione:

\begin{displaymath}T = 2 \pi \sqrt{\frac{I}{r m g}} \qquad (4)\end{displaymath}

Notiamo, nella (4), che la quantita'

\begin{displaymath}\frac{I}{rm}\end{displaymath}

ha le dimansioni di una lunghezza, che chiameremo ``lunghezza ridotta'':

\begin{displaymath}l^* = \frac{I}{rm}\end{displaymath}

Il periodo di oscillazione si puo' quindi scrivere come:

\begin{displaymath}T = 2 \pi \sqrt{\frac{l^*}{g}}\end{displaymath}

Questa equazione, confrontata con la (1) afferma che il periodo di oscillazione di un pendolo fisico e' lo stesso di un pendolo semplice avente come lunghezza la lunghezza ridotta $l^*$. La figura simula il problema in esame.