16.6 Assi principali d'inerzia.


mostra un sistema di due sfere che ruotano attorno ad un asse fisso sostenuto da due perni. Come e' stato osservato in precedenza (vedi figura 1.5.6), un tale sistema ha il momento angolare che non e' parallelo all'asse di rotazione. Su tale sistema agiscono quindi delle forze centrifughe che sono evidenziate nella figura. Si noti che queste forze sono presenti lungo tutto il moto anche se sono visualizzate solo nelle zone estreme.

Tali forze costituiscono una coppia che tende a spostare l'asse di rotazione. Il momento della coppia e' facilmente calcolabile. Se $m$ e' la massa delle due sferette, $y$ e' la distanza dall'asse di rotazione, $2x$ e' la distanza fra le linee d'azione delle due forze e $\omega$ e' la velocita' angolare di rotazione, la componente del momento della coppia perpendicolare al piano $xy$ e sara' data da:

\begin{displaymath}\tau_{xy} = m 2 x \omega^2 y\end{displaymath}

Consideriamo ora un corpo qualsiasi che ruota attorno ad un asse, come ad esempio quello mostrato nella figura 1.4.6. Possiamo sempre immaginare di dividere il corpo in una serie infinita di coppie di sferette come quelle mostrate nella figura 1.16.6. Supponiamo che ogni volume infinitesimo contenga una massa $dm$. Ogni coppia di masse infinitesime in cui abbiamo diviso il corpo sara' responsabile di un momento infinitesimo che potremo scrivere come:

\begin{displaymath}d \tau_{xy} = 2 \omega^2 x y dm\end{displaymath}

Tutti questi momenti infinitesimi si sommeranno e produrranno un momento risultante:

\begin{displaymath}\tau_{xy} = \int d \tau_{xy} = \int 2 \omega^2 x y dm = 2 \omega^2 \int xy dm\end{displaymath}

Tale momento produrra' quindi una rotazione del corpo e il momento angolare totale del corpo non sara' allineato con l'asse di rotazione.

Esiste pero' un asse particolare in cui:

\begin{displaymath}\tau_{xy}=2 \omega^2 \int xy dm=0\end{displaymath}

Ovvero:

\begin{displaymath}\int xy dm=0 \qquad (1)\end{displaymath}

Tale asse viene definito ``Asse Principale d'Inerzia'' e gode della proprieta' che quando il corpo ruota attorno a tale asse il sistema e' in equilibrio e il momento angolare e' parallelo all'asse di rotazione.

Il ragionamento puo' essere esteso anche alle proiezioni $xz$ e $yz$. Otterremo quindi altri due assi principali definiti come:

\begin{displaymath}\int xz dm=0 \qquad (2)\end{displaymath}


\begin{displaymath}\int yz dm=0 \qquad (3)\end{displaymath}

Potremo quindi concludere che ogni corpo rigido possiede almeno tre assi principali d'inerzia che costituiscono degli assi di simmetria per cui se il corpo ruota attorno a questi assi il momento angolare e' parallelo all'asse di rotazione e il momento delle forze centrifughe e' nullo.