3.6 Calcolo di momenti d'inerzia.

3.6.1 Momento d'inerzia di un corpo discreto.

   Abbiamo definito nel paragrafo precedente il momento d'inerzia di un corpo rigido costituito da N punti materiali aventi masse $m_i$ e distanze dall'asse di rotazione $r_i$ come:

$$I = \sum_{i=1}^{N}m_i r^2_i \qquad (1)$$

mostra il calcolo del momento d'inerzia di un corpo formato da due sfere aventi massa m e poste a distanza r dal centro di rotazione.

Figura 1.3.6 Il momento d'inerzia di un sistema di due punti materiali.

Le due sfere sono congiunte da una sbarra priva di massa. In questo caso il momento d'inerzia e' dato semplicemente da:

$$I = 2 m r^2$$

Nella figura viene illustrato con un istogramma il valore di questo momento d'inerzia e la sua dipendenza dalle masse delle particelle e dalla loro distanza. Si puo' osservare che questa quantita' dipende fortemente dalla distanza comparendo questa al quadrato.

3.6.2 Momento d'inerzia di un corpo continuo.

   Estendiamo ora la (1) al caso del calcolo del momento d'inerzia di un corpo continuo. Un corpo continuo puo' essere immaginato come una serie infinita di particelle contenenti masse infinitesime $dm$. In questo caso sostituiremo quindi nella (1) il simbolo $m_i$ con $dm$ mentre la somma si trasformera' in un integrale. E' inoltre conveniente collegare questa massa infinitesima con la densita' del corpo. A seconda del tipo di problema definiremo la densita' lineare nel caso di un corpo unidimensionale:

$$\lambda = \frac{dm}{dr} = Kg/m$$

la densita' superficiale nel caso di un corpo a due dimensioni:

$$\sigma = \frac{dm}{ds} = Kg/m^2$$

e la densita' di volume nel caso di un corpo nello spazio:

$$\rho = \frac{dm}{dV} = Kg/m^3$$

La (1) diviene quindi nel caso piu' generale:

$$I = \int r^2 dm = \int_{V} r^2 \rho dV \qquad(2)$$

dove l'integrale viene calcolato su tutto il volume del corpo.

3.6.3 Momento d'inerzia di una sbarra.

Figura 2.3.6 Il momento d'inerzia di una sbarra. Il cursore r mostra il processo di integrazione. L'istogramma mostra come cresce il momento d'inerzia durante il processo di integrazione. I cursori massa e lunghezza permettono di variare  i parametri della sbarra. Il pulsante "start" mette in rotazione la sbarra.

   illustra il calcolo del momento d'inerzia di una sbarra omogenea di densita' lineare $\lambda$ e lunghezza L che ruoti attorno al suo centro. La (2) diviene in questo caso:

$$I = \int r^2 dm = \int_{-L/2}^{L/2} r^2 \lambda dr = \lambda [\frac{r^3}{3}]^{L/2}_{-L/2} = \frac{1}{12} m L^2$$

dove si e' utilizzato il fatto che, essendo la densita' costante:

$$\lambda = \frac{m}{L}$$

3.6.4 Momento d'inerzia di un anello.

Figura 3.3.6 Il momento d'inerzia di un anello. I cursori permettono di modificare la massa e il raggio dell'anello.

mostra il caso di un anello omogeneo che ruoti attorno ad un asse perpendicolare al piano che lo contiene il momento d'inerzia si scrive:

$$I = \int r^2 dm = r^2 \int dm = m r^2$$

dove si e' utilizzato il fatto che nell'anello tutti i punti si trovano a distanza r dal centro dell'anello.

   3.6.6 Momento d'inerzia di un cilindro.

Figura 4.3.6 l momento d'inerzia di un cilindro. Il cursore r mostra il processo di integrazione. Il risultante momento d'inerzia e' mostrato nell'istogramma. I cursori massa e raggio modificano i parametri del cilindro.

  mostra un cilindro di raggio R e altezza L di cui si vuol calcolare il momento d'inerzia rispetto ad un asse di simmetria che passi per il suo centro di massa. In questo caso conviene integrare dividendo il cilindro in gusci la cui proiezione sul piano orizzontale sia una corona circolare di spessore infinitesimo dr. Il volume di tale guscio e' dato dall'area della corona circolare per l'altezza del cilindro L:

$$dV = 2 \pi r L dr$$

Il momento d'inerzia sara' quindi:

$$I = \int r^2 dm = \int r^2 \rho dV = \rho \int_{0}^{R} r^2 2 \pi r L dr = 2 \pi L \rho \int_{0}^{R} r^3 dr$$

Integrando si ottiene:

$$I = 2 \pi L \rho \frac{R^4}{4}$$

Tenendo presente che:

$$\rho = \frac{m}{V} = \frac{m}{\pi r^2 L}$$

Otteniamo:

$$I = \frac{1}{2} m R^2 \qquad (3)$$

cioe' il momento d'inerzia non dipende dall'altezza del cilindro. Se poniamo R= 0 otterremo un disco e quindi il momento d'inerzia di un disco e' dato sempre dalla (3).

 3.6.7  Altri momenti d'inerzia.

   La seguente tabella elenca altri momenti d'inerzia di figure semplici che non calcoleremo in quanto richiedono laboriosi calcoli.

Tabella 1.3.6: Momenti d'inerzia.

   

Corpo rigido	Momento d'Inerzia
Anello rispetto all'asse del cilindro	$m r^2$
Cilindro pieno rispetto all'asse del cilindro	$\frac{1}{2}m r^2$
Sbarra sottile rispetto ad un asse perpendicolare alla lunghezza	$\frac{1}{12}m l^2$
Sfera piena rispetto ad un suo diametro	$\frac{2}{5}m r^2$
Sfera vuota rispetto ad un suo diametro	$\frac{2}{3}m r^2$
Anello rispetto ad un diametro	$\frac{1}{2}m r^2$
Cilindro cavo rispetto all'asse del cilindro	$\frac{1}{2}m(r^2_1 + r_2^2)$
Cilindro pieno rispetto all'asse del cilindro o disco	$\frac{1}{2}m r^2$