1.6 La conservazione del momento angolare per un corpo rigido.


  
Supponiamo di avere una piattaforma ruotante di massa M= 0.1Kg e raggio R=0.5 m come quella mostrata in figura 1.9. Sulla piattaforma sia praticata una scanalatura nella quale puo' scorrere una pallina di massa m=0.1 Kg che e' legata, con un filo che scorre nellascanalatura e che passa per un foro praticato nel centro, ad un corpo di massa $m_1$=0.2 Kg. Si supponga che la pallina si trovi esattamente sul bordo della piattaforma. La piattaforma, cosi' come la pallina, siano in rotazione con velocita' angolare $\omega$. Determinare:
   a) la velocita' angolare della piattaforma affiche' il sistema sia in equilibrio;
   b) Quale massa $m_2$ dobbiamo aggiungere ad $m_1$ per fare in modo che la pallina si portiad un valore della distanza dal foro pari ad r/2.

   Soluzione:



Figura 1.6 La conservazione del momento angolare. Il pulsante "distanza" fa ruotare  la particella ad una diversa distanza dal centro.

mostra visivamente il problema. Studiamo prima il problema dell'equilibrio della pallina. Su di essa agisce latensione del filo T che tende a portarla verso il centro della piattaforma e, poiche' essasi trova in un sistema ruotante e quindi non inerziale, ad una forza centrifuga f.Il corpo di massa m invece e' in equilibrio fra la forza peso e la tensione del filo T:

\begin{displaymath}T = m_1 g \qquad (1)\end{displaymath}

Per la pallina possiamo quindi scrivere:

\begin{displaymath}f = m \omega^2 r = T = m_1 g\end{displaymath}

Da qui possiamo calcolare $\omega$:

\begin{displaymath}\omega = \sqrt{ \frac{m_1 g}{m r}} = \frac{0.2 \times 9.8}{0.1 \times 0.5} = 6.3 rad/sec\end{displaymath}

Supponiamo ora di aggiungere una massa $m_2$ in modo tale che la massa totale appesa al filo divenga:

\begin{displaymath}m' = m_1 + m_2\end{displaymath}

Il sistema cambiara' la sua velocita' angolare ad un valore $\omega'$ conservando il momento angolare totale. Questo poiche' il peso aggiunto incrementa la tensione del filo ma tale forza di tensione passa proprio per l'asse di rotazione. Poiche' ilmomento di una forza cha passa per il polo O che e' il centro della piattaforma e' nullo,si conserva il momento angolare. Possiamo quindi scrivere:

\begin{displaymath}I \omega = I' \omega' \qquad (2)\end{displaymath}

Il momento d'inerzia in questo caso e' rappresentato da quello della piattaforma,che rimane invariato, e quello della pallina che varia, in quanto si avvicina al foro:Il momento d'inerzia della piattaforma vale:

\begin{displaymath}I_0 = \frac{1}{2} M R^2 = 0.5 \times 0.1 \times 0.25 = 0.0125 Kg m^2\end{displaymath}

La (2) si scrive quindi:

\begin{displaymath}(I_0 + m r'^2) \omega' = (I_0 + m r^2) \omega\end{displaymath}

dalla quale possiamo ricavare $\omega'$:

\begin{displaymath}\omega' = \frac{I_0 + m r'^2}{I_0 + m r^2} \omega = 12.1 rad/sec\end{displaymath}

Il sistema sara' ancora in equilibrio, quindi ancora il peso m'g deve essere equilibrato dalla forza centrifuga:

\begin{displaymath}m \omega'^2 r' = m' g \qquad (3)\end{displaymath}

dalla quale possiamo ricavare m':

\begin{displaymath}m' = \frac{m \omega'^2 r'}{g} = 0.4 Kg\end{displaymath}