19.3 La gravita' all'interno della Terra.


In questo capitolo ci occuperemo di studiare come sia fatta la forza di gravita' all'interno della Terra. Notiamo prima una cosa importante. L'espressione della forza di gravita':

\begin{displaymath}F = G \frac{m m_T}{r^2} \qquad (1)\end{displaymath}

non puo' assolutamente essere valida all'interno della Terra. Per rendersi conto di cio' basta andare a calcolare quanto valga la forza per un corpo che si trovi esattamente al centro della Terra, cioe' ponendo r = 0. Applicando l'equazione precedente otterremmo un numero assurdo: infinito. Una forza infinita provocherebbe un'accelerazione infinita: in pratica la Terra non potrebbe esistere. Per risolvere il problema occorre utilizzare i due teoremi di cui abbiamo parlato nel capitolo 17.



Figura 1.19.3 La forza di gravita' all'interno della Terra. Il cursore permette di spostare il corpo. "Start" fa partire il moto oscillatorio.

  simula questo problema. Immaginiamo di scavare un tunnel che passi per il centro della Terra e facciamo muovere un corpo dentro questo tunnel. Man mano che il corpo si muove all'interno della Terra, dobbiamo immaginare di dividere questa in due parti. Una prima parte e' una sfera di raggio r dove r e' la distanza del corpo dal centro della Terra. Una seconda parte e' un guscio sferico nel quale il corpo si trova immerso. Osserviamo pero' che un corpo all'interno di un guscio sferico non risente di nessun effetto gravitazionale a causa di questo. Quindi il guscio sferico non esercita alcuna forza sul corpo. La parte sferica invece esercitera' una forza gravitazionale come nell'equazione 1, ma la massa della Terra che compare in questa equazione non e' la sua massa totale ma questa massa ridotta che ora proveremo a calcolare. Per semplificare le cose supponiamo che la Terra abbia densita' uniforme che chiameremo:

\begin{displaymath}\rho = \frac{m_T}{V_T} = \frac{m_T}{\frac{4}{3} \pi r^3} = 5.5 \times
10^3 kg/m^3\end{displaymath}

Conoscendo la densita' possiamo calcolare la massa della terra rimpicciolita

\begin{displaymath}m_T' = \rho V' = \rho \frac{4}{3} \pi r^3\end{displaymath}

Possiamo ora calcolare la forza:

\begin{displaymath}F = G \frac {m_T' m}{r^2} = G \frac {\rho \frac{4}{3} \pi r^3 m}{r^2} = G \frac{4}{3} \rho m r\end{displaymath}

Raggruppando insieme le costanti nel simbolo $k = G \frac{4}{3} \rho m$, l'equazione precedente diventa:

\begin{displaymath}F = k r\end{displaymath}

Abbiamo ottenuto cosi' una diversa espressione della forza, valida all'interno di una massa sferica. Questa equazione mostra che la forza cresce linearmente con la distanza ed e' nulla al centro della Terra: un comportamento molto piu' sensato. Notiamo ora che questa forza e' attrattiva, cioe' punta sempre verso il centro della Terra. Quindi la forza e' di segno contrario ad r. Concludiamo quindi che la forza si puo' scrivere come:

\begin{displaymath}F = - kr\end{displaymath}

Una forza elastica! Quindi, un corpo lasciato cadere all'interno di un tunnel che passa per il centro della Terra sarebbe sottoposto all'azione di una forza elastica: la Terra si comporta come una molla. Sappiamo ora che una forza elastica produce un moto armonico. Quanto vale il periodo di oscillazione? In altre parole (trascurando gli attriti) dopo quanto tempo il nostro corpo riemergerebbe dal tunnel dopo aver attraversato tutta la Terra? Applicando la seconda legge di Newton abbiamo:

\begin{displaymath}F = - k r = m a\end{displaymath}

per cui (ricordando le proprieta' del moto armonico):

\begin{displaymath}a = - \frac{k}{m} a = - \omega^2 a\end{displaymath}

Calcoliamo $\omega^2$ e poi il periodo:

\begin{displaymath}\omega^2 = \frac{k}{m} = \frac{G 4 \rho m}{3 m} = G \frac{4}{3}\rho
\end{displaymath}

e infine otteniamo il periodo:

\begin{displaymath}T = \frac{2 \pi}{\omega} = \frac{2 \pi}{\sqrt{G \frac{4}{3}\rho}} =
5.07 \times 10^3 sec = 1h \quad 23 min\end{displaymath}

Notiamo infine che anche l'accelerazione di gravita' varia linearmente all'interno della Terra, essendo uguale a:

\begin{displaymath}g = k r\end{displaymath}