15.5 Sezione d'urto.


   Le collisioni sono lo strumento fondamentale con cui la Fisica ha esplorato la struttura interna della materia. E' noto a tutti noi che per poter capire cosa vi sia al'interno di una scatola rigida chiusa occorre romperla e per farlo una tecnica e' quella di lanciarvi dei proiettili. Con questo metodo abbiamo capito cosa vi fosse all'interno delle molecole, degli atomi, dei nuclei. Ovviamente per ogni bersaglio occorre avere proiettili del tipo giusto e delle dimensioni opportune. Cosi' che per capire la struttura del nucleo dell'atomo occorre bombardarlo con altri nuclei di dimensioni piu' piccole come protoni, neutroni o particelle $\alpha$. La quantita' che fornisce le informazioni nesessarie sulle dimensioni dei bersagli che vogliamo studiare e' la sezione d'urto. Consideriamo la figura 4.15. Qui e' schematizzato uno strato di materiale contenente atomi, rappresentati da sfere. Su questi atomi vengono lanciati dei proiettili, in modo uniforme, su tutta la superficie del materiale che stiamo bombardando, che chiameremo A. Supponiamo che lo spessore del materiale che stiamo esminando sia s e che questo contenga un numero M di bersagli. Supponiamo che sia $N_0$ il numero di proiettili lanciati in in certo intervallo di tempo e sia N il numero di proiettili che colpisca un bersaglio. Possiamo allora scrivere che la frazione di proiettili che colpisce il bersaglio deve essere uguale alla frazione di area occupata dai bersagli:
\begin{displaymath}\frac{N}{N_0} = \frac{M \sigma}{A} \qquad (1)\end{displaymath}
dove abbiamo indicato con $\sigma$ la quantita' che ci interessa misurare, l'area di ciascun bersaglio ovvero la sezione d'urto. Dalla (1) otteniamo:
\begin{displaymath}\sigma = \frac{N}{N_0} \frac{A}{M} \qquad (2)\end{displaymath}
Trasformiamo ora queste variabili in quantita' meglio misurabili come il numero di atomi/bersagli per unita' di volume:
\begin{displaymath}n = \frac{M}{s A}\end{displaymath}
quindi:
\begin{displaymath}\frac{A}{M} = \frac{1}{s n}\end{displaymath}
e quindi la (2) diviene:
\begin{displaymath}\sigma = \frac{N}{N_0}\frac{1}{sn} \qquad (3)\end{displaymath}
Per esemplificare, consideriamo qui il metodo con cui si e' giunti a comprendere la struttura dell'atomo e a misurarne le dimensioni: l'esperimento di Rutherford. In questo esperimento su utilizzo' una lamina di oro di spessore s=4 $\times 10^{-7}$ m contenente un numero di atomi per $m^3$ n=5.9 $\times 10^{28}$. A quei tempi vi erano due teorie sull'atomo. Nella prima (modello di Thomson) si sosteneva che la materia atomica fosse distribuita uniformemente all'interno di una sfera, nella seconda (Rutherford) si supponeva che essa fosse concentrata in un nucleo di piccole dimensioni. Per studiare questo problema si utilizzarono come proiettili particelle $\alpha$ provenienti dal decadimento radiattivo del Polonio. Quello che distingueva i due modelli era questo. Se l'atomo avesse tutta la materia distribuita uniformemente le particelle $\alpha$ avrebbero interagito con gli atomi e sarebbero state deviate di angoli piccoli.


Figura 1.15.5  Esperimento di Rutherford. I pulsanti "Thomson" e "Rutherford" modificano il modello atomico. Il cursore modifica il raggio atomico.

visualizza questa sistuazione. Se invece la materia fosse stata concentrata in un nucleo piccolo, la probabilita' di interazione sarebbe stata piu' piccola ma alcune particelle $\alpha$ avrebbero colpito questi nuclei e sarebbero state spinte all'indietro. Le cose andarono proprio in questi termini e Rutherford misuro' un numero di particelle che andavano all'indietro di:

\begin{displaymath}\frac{N}{N_0} = 1/6.17 \times 10^6\end{displaymath}

. Con queste informazioni possiamo calcolare la sezione d'urto e quindi le dimensioni dei nuclei.

\begin{displaymath}\sigma = \frac{N}{N_0 n s} = 6.9 \times 10^{-28} m^2\end{displaymath}

Supponendo che il nucleo abbia una forma sferica ( $\sigma = \pi r^2$), possiamo ottenere il raggio nucleare:

\begin{displaymath}r = \sqrt{\sigma/\pi} = 1.5 \times 10^{-14} m\end{displaymath}