5.5 Il teorema del moto del centro di massa.


   In questo paragrafo utilizzeremo il concetto di centro di massa per descrivere il moto di un sistema di particelle. Consideriamo prima il caso delle traslazioni. Nel paragrafo 1 abbiamo ricavato la relazione:

\begin{displaymath}{\bf F}^E = \frac {d{\bf P}}{dt} \qquad (1)\end{displaymath}

dove P e' la quantita' di moto totale del sistema. Ricordiamo ora la definizione di centro di massa:

\begin{displaymath}{\bf r}_{CM} = \frac{\sum_{i=1}^{N} m_i {\bf r_i}}{M} \qquad(2)\end{displaymath}

Deriviamo la (2) rispetto al tempo:

\begin{displaymath}\frac{d{\bf r}_{CM}}{dt} = \frac{1}{M}\frac{d \sum_{i=1}^{N} ...
...um_{i=1}^{N} m_i {\bf v_i} = \frac{ \sum_{i=1}^{N}{\bf v_i}}{M}\end{displaymath}

Definiamo ora velocita' del centro di massa:

\begin{displaymath}{\bf v}_{CM} = \frac{d{\bf r}_{CM}}{dt}\end{displaymath}

e quindi otterremo:

\begin{displaymath}{\bf v}_{CM} = \frac{ \sum_{i=1}^{N}m_i{\bf v_i}}{M} \qquad (3)\end{displaymath}

Ovvero, la velocita' del centro di massa non e' altri se non la media pesata per le masse delle velocita' delle singole particelle. Dalla (3) otteniamo:

\begin{displaymath}M {\bf v}_{CM} = \sum_{i=1}^{N}m_i{\bf v_i} =\sum_{i=1}^{N}{\bf p_i} = {\bf P} \qquad (4)\end{displaymath}

dove abbiamo utilizzato la definizione di quantita' di moto totale del sistema come somma delle quantita' di moto individuali delle singole particelle. Confrontando il primo e l'ultimo termine della (4) otteniamo:

\begin{displaymath}{\bf P} = M {\bf v}_{CM} \qquad (5)\end{displaymath}

ovvero: la quantita' di moto di un sistema di particelle si puo' semplicemente identificare con la quantita' di moto del suo centro di massa. Deriviamo ora la (5) rispetto al tempo:

\begin{displaymath}\frac{d{\bf P}}{dt} = \frac{d M {\bf v}_{CM}}{dt} \qquad (6)\end{displaymath}

Confontando con la (1) osserviamo che il primo termine non e' altri che la risultante delle forze esterne applicate al sistema, quindi otteniamo:

\begin{displaymath}{\bf F}^E = M {\bf a}_{CM} \qquad (7)\end{displaymath}

dove si e' utilizzata la definizione di accelerazione del centro di massa:

\begin{displaymath}{\bf a}_{CM} = \frac{d {\bf v}_{CM}}{dt}\end{displaymath}

Le (7) costutuisce quello che viene anche detto teorema del moto del centro di massa. Esso afferma che un sistema di particelle si puo' identificare, per quel che riguarda le traslazioni, con il suo centro di massa. Quindi tutto il sistema viene ridotto ad un punto materiale. Tale centro di massa accelera solo a causa delle forze esterne la cui risultante si puo' immaginare applicata direttamente al centro di massa. Le forze esterne non sono in alcun modo in grado di modificare la traiettoria del centro di massa di un sistema di particelle. Per illustrare con un esempio questo teorema consideriamo un proiettile che si muova nel campo gravitazionale di moto parabolico come illustrato nella figura 1.5.5.



Figura 1.5.5 Il teorema del moto del centro di massa. Il pulsante permette di  far esplodere in volo il proiettile.

  Immaginiamo questo proiettile come costituito da tre frammenti che, ad un certo istante di tempo, saranno lanciati in diverse direzioni da una carica esplosiva. I tre frammenti, prima e dopo dell'esplosione, costituscono un sistema di particelle il cui centro di massa e' sottoposto alla risultante dei pesi dei tre frammenti. Per la (7) quindi il moto del proiettile sara' accelerato e l'accelerazione del centro di massa sara' l'accelerazione di gravita' g. L'esplosione di un proiettile avviene solo a causa delle forze interne che agiscono sul sistema, quindi vale ancora la (7). Il centro di massa non si accorge dell'esplosione, in quanto le forze interne non sono in grado di modificarne la traiettoria. Il risultato e' l'esplosivo lancia i tre frammenti in diverse direzioni, ma le traiettorie di questi sono legate da un vincolo: il centro di massa deve proseguire sulla sua originale traiettoria parabolica. Un altro esempio lo si puo' ricavare dalla figura 4.1 del paragrafo 1. Qui si puo' osservare il cento di massa del sistema cadere di moto uniformemente accelerato sotto l'azione della somma di tutte le forze peso delle singole particelle. Dalla (7) possiamo ricavare ancora una importante informazione. Supponiamo che sia nulla la risultante delle forze esterne. Allora l'accelerazione del centro di massa e' anch'essa nulla quindi:''il moto del centro di massa e' un moto rettilineo uniforme.

\begin{displaymath}{\bf F}^E = 0, \qquad {\bf v}_{CM} = cost\end{displaymath}

Faremo uso di questa relazione nello studio degli urti.



Figura 2.5.5 Il teorema del moto del centro di massa. Il pulsante imprime una velocita' iniziale al centro di massa.

  mostra un altro esempio. Qui tre particelle sono legate da forze elastiche e si muovono su un piano orizzontale privo di attrito.  Nello stato iniziale il centro di massa e' fermo e continua a rimanere tale anche se le forze interne fanno muovere le tre particelle. Agendo sul pulsante "velocita" si imprime una velocita' iniziale al centro di massa. Ora le particelle urteranno contro le pareti della scatola e, ad ogni urto, una forza viene impressa alla particella. Poiche' tutte le forze esterne devono essere immaginate applicate al centro di massa, quest'ultimo  subira' una deflessione ad ogni urto contro le pareti.